LA LOTERÍA GENOVESA
En los siglos pasados gozaba de gran popularidad la llamada lotería genovesa, que se conservó hasta ahora en algunos países. Su esencia consistía en lo siguiente. Los participantes de la lotería compraban billetes, en los que habían números del 1 al 90. Se podían comprar también billetes en los que había directamente dos, tres, cuatro o cinco cifras. En el día del sorteo de la lotería, de una bolsa que contenía fichas con los números del 1 al 90 se extraían cinco fichas. Ganaban aquellos en cuyos billetes todos los números se hallaban entre los que habían sido extraídos. Por ejemplo, si en el billete habían los números 8, 21 y 49 y habían sido extraídos los números 3, 8, 21, 37, 49, el billete ganaba; si en cambio, habían sido extraídos, por ejemplo, los números 3, 7, 21, 49, 63 el billete perdía, puesto que el 8 no se hallaba entre los números extraídos.
Si el participante de la lotería compraba un billete con un solo número, obtenía, si ganaba, una suma 15 veces mayor que el costo del billete; si este tenía dos números (ambo), la suma era 270 veces mayor; si tenía tres (terna), 5,500 veces; si tenía cuatro (cuaterna), 75,000 veces, y si tenía cinco números (quina), 1'000,000 de veces mayor que el costo del billete.
Muchos probaban enriquecerse participando en esta lotería y apostando, en cada sorteo, a una terna o un ambo. Pero casi nadie logró conseguirlo: la lotería estaba calculada de forma que ganasen sus organizadores.
Para comprender las causas de esto, tratemos de calcular la razón entre el número de casos "afortunados" de la lotería y el número total de casos en las distintas formas de juego. El número total de casos de la lotería se halla directamente mediante la fórmula de combinaciones
De la bolsa con 90 fichas se extraen 5, sin que el orden tenga importancia alguna. Se obtienen combinaciones de 90 elementos tomados de a 5, el número de las cuales es igual a
Supongamos ahora que el participante de la lotería compró un billete con un sólo número. ¿En cuántos casos ganará? Para ganar es necesario que uno de los números coincida con el que se halla en el billete. Los otros 4 pueden ser arbitrarios. Pero estos cuatro números se escogen entre los 89 restantes. Por esto, el número de combinaciones propicias se expresa por la fórmula
De aquí se desprende que el cociente entre el número de combinaciones propicias y el número total de éstas es igual a
Esto significa, aproximadamente, que el jugador ganará una vez de cada dieciocho. En otras palabras, pagará por 18 billetes y ganará sólo 15 veces veces más que el costo de uno de ellos: el costo de tres billetes quedará en el bolsillo de los organizadores de la lotería.
Se sobreentiende que no se debe considerar que de cada 18 veces el ganador ganará exactamente una vez. A veces, entre dos casos de ganancia pasan 20 ó 30 sorteos; a veces se logra ganar en dos y tres sorteos consecutivos. Aquí se trata del número medio de ganancias en un intervalo grande de tiempo, o para un gran número de participantes. De otro modo, se puede incurrir en el error que se adjudica a cierto médico. Este dijo a su paciente: "Tiene Ud. una enfermedad de la cual sana 1 entre 10. Pero los 9 enfermos precedentes que he tratado de esta enfermedad se han muerto. !Ud. se curará sin falta!".
Calculemos ahora las probabilidades de ganar en un ambo. Aquí ya es necesario que los dos números apostados figuren entre los que se han extraído de la bolsa; los tres números restantes pueden ser cualesquiera. Como se los puede escoger entre los 88 que quedan, el número de casos "afortunados" en el juego de ambo se expresa mediante la fórmula
La razón entre el número de dichos casos y el número total de estos es de
Aquí ya de 801 casos sólo dos conducen al éxito. Pero como la ganancia es sólo 270 veces mayor que el costo del billete, de cada 801 de billetes de "ambo" el precio de 261 quedará en los bolsillos de los organizadores de la lotería. Está claro que el juego al ambo es aún menos ventajoso a los participantes que el juego a un número simple.
Resultan totalmente desventajosos los juegos a la terna, cuaterna y quinta. En el juego a la terna la razón entre el número de casos propicios y el número total de éstos es igual
en el juego de la cuaterna es de
y en el juego de la quinta, de
En cambio a los que ganan pagan solamente 5500, 75000 y 1'000,000 de veces más. El lector puede calcular por sí mismo cuales son las pérdidas de los participantes de la lotería bajo estas condiciones.
Tomado del libro ¿De Cuántas Formas? de N. Vilenkin