¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de N personas, por lo menos dos de ellas coincidan en su cumpleaños?

Con 365 días diferentes posibles, excluyendo años bisiestos, intuitivamente parecería que la probabilidad de cumpleaños coincidentes en un grupo de, digamos, 40 personas, sería muy pequeña. Veamos que tan buena es nuestra intuición.

La probabilidad deseada se obtiene más fácilmente si calculamos primero la probabilidad de que no haya ninguna pareja de personas con el mismo cumpleaños y restamos luego este resultado de uno. Un individuo, seleccionado al azar, podría cumplir años en cualquiera de los 365 días del año, de manera análoga, un segundo individuo podría cumplir años en cualquiera de los 365 días, etc. Por lo tanto, el espacio muestra está constituido por 365^N puntos, a cada uno de os cuales corresponde la misma probabilidad. El número de modos posibles de que ninguno de los N cumpleaños coincida es :

porque si una persona dada puede cumplir años en cualquiera de los 365 días del año, la siguiente persona puede cumplir años en los restantes 364 días, una tercera persona puede cumplir años en cualquiera de los 363 días restantes, etc., hasta la enésima persona que podrá cumplir años en 365 - (N - 1) días. Por lo tanto, la probabilidad de que ningún par de cumpleaños coincida es

Finalmente, la probabilidad de que por lo menos dos personas coincidan en su cumpleaños es

Para N = 23, 30 y 50 la probabilidad mencionada es: 0.51, 0.71 y 0.97 respectivamente. Como se ve, para N = 23 existe, aproximadamente, una probabilidad a la par que por lo menos coincidan dos cumpleaños, y cuando N = 50, tenemos casi la certeza de que ocurrirá la coincidencia.

Tomado del libro "Elementos de Estadística" de Elmer Mode