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```{r,echo=FALSE}
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO. Estadística e Informática\nMétodos Numéricos y Simulación")
```

##$$Final,~~11~Julio~2015$$

1. Utilizando la tabla de probabilidades acumulativas de la variable aleatoria X, halle la $P(X<2)$

$$\begin {array}
x_i& P(X \lt x_i) \\
-----&----\\
1.0&0.05\\
1.5&0.25\\
2.5&0.60\\
4.0&0.90\\
6.0&1.00\end {array}$$

Sol.

Los puntos no estan equidistantes, por lo tanto se debe aplicar diferencias divididas.

$$\begin {array}
x_i& P(X \lt x_i)&\{ x_k,x_{k+1} \} & \{x_k,x_{k+1},x_{k+2} \} & & \\
-----&----&----&----&----&----\\
1.0&0.05&0.4&-0.0333&-0.0089&0.0025\\
1.5&0.25&0.35&-0.06&0.0038 & \\
2.5&0.60&0.20&-0.04285& &\\
4.0&0.90&0.05& & &\\
6.0&1.00& & & &\end {array}$$

Segun Newton se tiene:

$f(2)=0.25+(0.35)(2-1.5) + (-0.06)(2-1.5)(2-2.5)+ (0.0038)(2-1.5)(2-2.5)(2-4)$

$f(2)=0.4419$

2. Encuentre la probabilidad $P(|Z| \lt 1)$, donde Z corresponde a una normal estandar. Utilice simpson con 3 y 5 puntos, luego extrapolación. Calcule el error absoluto de las 3 aproximaciones si el valor exacto es de 0.6826895.

La normal estandar es: $f(z)=\frac{e{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$

Tres puntos:

$$\begin {array}
-1 & 0 & 1 \\
0.2419707 & 0.3989423 & 0.2419707\end {array}$$

$S(1)= \frac{1}{3}(0.2419707 + 4* 0.3989423 + 0.2419707)$

$S(1)=0.6932369$

$\epsilon_S=|0.6826895-0.6932369|=0.0105474$

cinco puntos:

$$\begin {array}
-1 & -0.5 &0 & 0.5 & 1 \\
0.2419707 & 0.3520653 & 0.3989423 & 0.3520653 & 0.2419707\end {array}$$

$S(0.5)= \frac{0.5}{3}(0.2419707 + 4* 0.3520653+ 0.3989423) + \frac{0.5}{3}(0.3989423 + 4* 0.3520653+ 0.2419707)$

$S(0.5)=0.6830581$

$\epsilon_S=|0.6826895-0.6830581|=0.0003686$

Por extrapolacion:

$\frac{2^4S(0.5)-S(1)}{2^4-1}$

$\frac{2^4*0.6830581-0.6932369}{2^4-1}=0.6823795$

$\epsilon_S=|0.6826895-0.6823795|=0.00031$

Con extrapolacion el error es mas pequeño

3.  Una partícula P se mueve a lo largo del eje x, de tal manera que su aceleración en cualquier tiempo $t \ge 0$ esta dado por $a=16-24t$. 

Encuentre la posición $x$ de la partícula medido del origen 0 al tiempo t=1, 1.5 y 2, asumiendo que en el inicio $t=0$, esta localizada en x=2 e inicia el viaja a una velocidad de $v=-5$, utilice Euler. 

Sugerencia: la velocidad corresponde a la primera derivada del espacio respecto del tiempo y la aceleración la segunda derivada. 

Sol.

Segun el enunciado el problema, la ecuacion diferencial sera:

$x''=16-24t$, bajo las condiciones iniciales $X(0)=2$, $X'(0)=-5$

El sistema de orden 2 se debe transformar a un sistema de primer orden.

La transformacion sera:

$Z_1 = X$

$Z_2 = X'$

entonces:

$Z'_1 = Z_2$

$Z'_2 = 16-24t$

Condiciones iniciales:

$Z_1(0) = 2$

$Z_2(0) = -5$

Por Euler para t=1, 1.5 y 2, para lo cual se utilizara h=0.5

Las ecuaciones de recurrencia:

$Z_{1,i+1} = Z_{1,i} + 0.5*Z_{2,i}$

$Z_{2,i+1} = Z_{2,i} + 0.5*(16-24t_i)$

dado que h=0.5, se inicia con t=0

$Z_{1,1} = 2 + 0.5*(-5)= -0.5$

$Z_{2,1} = -5 + 0.5*(16-0)=3$

$Z_{1,2} = -0.5 + 0.5*(3)= 1$

$Z_{2,2} = 3 + 0.5*(16-24*0.5)=5$

$Z_{1,3} = 1 + 0.5*(5)= 3.5$

$Z_{2,3} = 5 + 0.5*(16-24*1)=1$

$Z_{1,4} = 3.5 + 0.5*(3.5)= 5.25$

$Z_{2,4} = 1 + 0.5*(16-24*1.5)=-9$

En resumen:

$$\begin {array}
t& X &X'\\
---&----&----\\
0.0&2 & -5 \\
0.5&-0.5&3 \\
1.0&1&5\\
1.5&3.5&1\\
2.0&5.25&-9 \end {array}$$

Entonces en $t=1$ la particula se encontrara en $X=1$, en $t=1.5$ en $X=3.5$ y en el tiempo $t=2$ en $X=5.25$.

4. Encuentre la solución de la ecuación diferencial por R-K:2 para x=1.2,1.4 si $C_1=0$. El valor inicial $y(1)=0.01$.

$$y'=\frac{x+xy^2}{4y}$$ 

Sol.

Segun R-K:2, los parametros correspondientes a $C_1=0$ son:

$C_2=1$, $a=b=1/2$

$Y_{i+1} = Y_i + R_2$

$R_2 = hf(x_i+ah,Y_i+bR_1)$

La regla de recurrencia es:

$Y_{i+1}=Y_i+hf(x_i+h/2,Y_i+R_1/2)$

donde, $R_1 = hf(x_i,Y_i)$ 

Para h=0.2

$R_{1,i} = 0.2\left(\frac{x_i+x_iY_i^2}{4Y_i}\right)$ 

$Y_{i+1}=Y_i+0.2\left( \frac{x_i+0.1+(x_i+0.1)(Y_i+R_{1,i}/2)^2}{4(Y_i+R_{1,i}/2)}\right)$

Utilizando R para el calculo

```{r}
y<-NULL
x<-c(1,1.2,1.4)
y[1]<-0.01

f<-function(x,y)(x+x*y^2)/(4*y)
for(i in 1:2){
R1<-0.2*f(x[i],y[i])
y[i+1]<-y[i]+0.2*f(x[i]+0.1,y[i]+R1/2)
}
print(data.frame(x,y),row.names=FALSE)
```

5. A una estación de gasolina llegan en promedio 1 vehículo por cada 3 minutos y la atencion es de 2 minutos promedio por vehículo. Si el numero de vehículos que llega a la estación es una Poisson y la atención una exponencial. Resolver por simulación.

  + a) ¿Cuántos vehículos llegaron en los primeros 18 minutos?.
  
  + b) ¿Cuánto tiempo tomo la atención de los vehículos que llegaron en los primeros 18 minutos?.

Utilice la siguiente información de números aleatorios uniformes entre 0,1.

Llegada: 0.44, 0.08, 0.76, 0.62, 0.42, 0.41, 0.24, 0.39, 0.73, 0.77, 0.35, 0.54, 0.80

Atencion: 0.03, 0.93, 0.74, 0.19, 0.83, 0.74, 0.64, 0.85, 0.30, 0.94, 0.47, 0.69, 0.52

Sol.

Para el caso a), las llegadas siguen la distribucion Poisson con parametro $\lambda=1$

La simulacion consistira en generar la variable aleatoria para periodos constantes de 3 minutos, es decir generar 18 min/3 min = 6 valores aleatorios con distribucion Poisson.

Segun la regla de generacion:

$B=e^{-\lambda}= 0.3678794$

$X_1:~ 0.44*0.08 = 0.0352 \lt 0.3678$, entonces $x_1=1$

$X_2:~ 0.76*0.62*0.42 = 0.1979 \lt 0.3678, entonces x2=2

$X_3:~ 0.42*0.41 = 0.1722 \lt 0.3678$, entonces $x_3=1$

$X_4:~ 0.24 \lt 0.3678$, entonces $x_4=0$

$X_5:~ 0.39*0.73 = 0.2847 \lt 0.3678$, entonces $x_5=1$

$X_6:~ 0.77*0.35 = 0.2695 \lt 0.3678$, entonces $x_6=1$

Total de automoviles: 1+2+1+0+1+1=6

Para la generacion de los tiempos de atencion. Como la variable es exponencial, el generador exponencial es:

$tiempo = - 2*log(r)$

$t_1= -2*log(0.03)=7.0131$

$t_2= -2*log(0.93)=0.1451$

$t_3= -2*log(0.74)=0.6022$

$t_4= -2*log(0.19)=3.3214$

$t_5= -2*log(0.83)=0.3726$

$t_6= -2*log(0.74)=0.6022$

El tiempo total es de 12.05 min, tiempo de espera total de 5.9432, equivalente a 5 min con 56 seg.