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output: word_document
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
setwd("D:/CIP/Documentacion Felipe 2018/la molina/numerico")
```

```{r,echo=FALSE,comment=NA}
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO. Estadística e Informática\nMétodos Numéricos y Simulación")
```

###$$\text{Parcial, Mayo 2018}$$


1. Las probabilidad de 4 eventos A, B, C y D son : 0.851, 0.916, 0.93201 y 0.981, expresadas con 3, 2, 4 y 2 cifras significativas respectivamente.

- Hallar el error de Y, si $Y=P(A)P(B)P(C)P(D)$.
    
Sol:

El error de la función f(A,B,C,D) es determinado en función de las derivadas parciales de $f$

$\Delta y= \sum_{i=1}^n \left| \frac {\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta X_i$

Aplicando

$$E_Y= P(B)P(C)P(D)E_A+P(A)P(C)P(D)E_B +P(A)P(B)P(D)E_C+P(A)P(B)P(C)E_D$$  

```{r,comment=NA}
P<-c(0.851,0.916,0.93201,0.981)
Y<- prod(P) 
E<-c(0.5E-3,0.5E-2,0.5E-4,-0.5E-2)
Ey<-P%*%E
cat("Error en Y es:",abs(Ey),"\n")
```   

- La probabilidad de la unión $P(A \cup B)$ es 0.95, hallar el número de cifras significativas de probabilidad condicional $P(A / B )$.
    
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$PA/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$E(A \cap B) : E_a + E_b$

$E(A / B) : \frac{E_a}{P(B)}- \frac{P(A)E_b}{P^2(B)}$

```{r,comment=NA}
Pab<-P[1]+P[2]-0.95
Eab<-E[1]+E[2]
condicional <- Pab/P[2]
Econdicional<-E[1]/P[1]-P[1]*E[2]/P[2]^2
cat("Error P(A/B):",abs(Econdicional),"\n")
```  

El error es $0.4~10^{-2}$, entonces, como $m=-1$ (valor de probabilidad), $m-n+1 =-2$ implica $n=2$.

Son dos cifras significativas para el valor de la probabilidad condicional.

2. Dada la siguiente función $f(x,y)=x^2-y+1$,  $g(x,y)=y^2-x-3$

- Localice las raíces utilizando el criterio de intersección de funciones.
    
**Sol:**

En ambas ecuaciones se extrae $y$, para tener funciones dependientes de "x"
    
$f=x^2+1$
    
$g=\sqrt{x+3}$
    
```{r,fig.width=3,fig.height=3}
par(mar=c(2,2,1,1),cex=0.8)
f<-function(x)x^2+1
g<-function(x)sqrt(x+3)
x<-seq(-1,2,0.1)
plot(x,f(x),type="l",ylab=c(0,3),bty="l")
lines(x,g(x),col=2)
```
    
    P1: El valor está en la región x=c(-1,0),y=c(1,2)
    
    P2: El valor está en la región x=c(0.5,1.5),y=c(1,3)
    
- Hallar el Jacobiano para x=4, y=1 del método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

$f(x,y)=x^2-y+1$,  $g(x,y)=y^2-x-3$

$$J=\left [ \begin {array}{cc} \delta f/\delta x & \delta f/\delta y  \\ \delta g/\delta x&\delta g/\delta y \end {array} \right ]= \left [ \begin {array}{cc} 2x & -1 \\ -1&2y \end {array} \right ]=\left [ \begin {array}{cc} 8 & -1 \\ -1&2 \end {array} \right ]$$

3. Dada la función: $f(x)=1+xe^{|x|}$ tiene una raíz muy cercana a cero.

- Encuentre una aplicación contraída $g(x)$ tal que $x_{i+1}=g(x_i)$ sea un algoritmo que permita hallar la raíz cercana a cero $f(x)=0$.
    
Sol: Primero determinar el intervalo solución.

    
```{r,fig.width=3,fig.height=3,comment=NA}
par(mar=c(2,2,1,1),cex=0.8)
f<-function(x)1+x*exp(abs(x))
x<-seq(-1,1,0.1)
plot(x,f(x),type="l",ylab=c(-1,2),bty="l")
abline(v=c(-1,0),lty=2)
```

La solución está en el intervalo I=(-1,0)

Buscando la aplicación contraída, si $f(x)=0$:

$g(x)= x - \phi (x) f(x)$

Primer intento una constante: $\phi (x) =0.05$

valor inicial punto central en el intervalo de x, es decir $x_0=0.5$.

```{r,comment=NA}
f<-function(x)1+x*exp(abs(x))
g<-function(x)x-0.05*f(x)
x0<--0.5
x1<-g(x0)
x2<-g(x1)
x3<-g(x2)
```

El valor está en la región $I$

$|g(x_1)-g(x_0)| < K*|x_1-x_0|$

$|-0.51647 + 0.508782| < K*|-0.508782 - 0.5|$, $0 < K < 1$ satisface la condición Lipschitz.

Los valores de x están en el intervalo $I$

- Aplique su algoritmo para hallar la solución, solo realice 3 iteraciones.

El algoritmo: $x_{i+1}<- x-i - 0.05 f_i$

- valor x_0 = -0.5

- X_1 = -0.508782
- X_2 = -0.51647
- X_3 = -0.5231872


4. Resolver el siguiente sistema AX=b por descomposición en tres matrices LDU=A. L y U triangulares inferior y superior con unos en la diagonal y D una matriz diagonal.

$$~~~~~~~A=\left(\begin{array}2&-5\\4&-6\end{array} \right ) ~~~~X=\left(\begin{array} x_1\\x_2\end{array} \right ) ~~~~b=\left(\begin{array} 1\\6\end{array} \right )$$

- Explicar el procedimiento a seguir paso a paso para hallar la solución X.
    
*Sol:* La condición    $LDU=A$

Paso 1: Preparar las matrices L, D y U, e igualar a la matriz A.

$$L=\left(\begin{array}1&0\\l_{21}&1\end{array} \right )~~~D=\left(\begin{array}d_{11}&0\\0&d_{22}\end{array} \right ) ~~~U=\left(\begin{array}1&u_{12}\\0&1\end{array} \right )$$
$$LDU=\left(\begin{array}d_{11}&0\\l_{21}d_{11}&d_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}1&u_{12}\\0&1\end{array} \right)=\left(\begin{array}d_{11}&d_{11}u_{12}\\l_{21}d_{11}&d_{22}+l_{21}d_{11}u_{12}\end{array} \right)=\left(\begin{array}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array} \right ) $$

Paso 2: Resolver el sistema $LY=b$, donde Y es la solución.

Paso 3: Resolver el sistema $DZ=Y$, donde Z es la solución.

Paso 4: Resolver el sistema $UX=Z$, donde x es la solución del problema planteado.

- Aplicar al problema planteado y hallar la solución X.

  
$$A=\left(\begin{array}2&-5\\4&-6\end{array} \right ) ~~~~X=\left(\begin{array} x_1\\x_2\end{array} \right ) ~~~~b=\left(\begin{array} 1\\6\end{array} \right )$$

Con el procedimiento planteado, los valores de las matrices propuesta se determinan directamente con los elementos de la matriz A, así:

Asi, $d_{11} = 2$

$l_{21}d_{11} = 4$; $l_{21} = 2$

$d_{11}u_{12} = -5$; $u_{12} = -5/2$

$l_{21}d_{11}u_{12}+d_{22}= -6$; $d_{22} = 10-6=4$

$$L=\left(\begin{array}1&0\\2&1\end{array} \right ) ~~~~ D=\left(\begin{array}2&0\\0&4\end{array} \right ) ~~~~
U=\left(\begin{array}1&-5/2\\0&1\end{array} \right )$$

Ahora resolver el sistema: $LY = b$

$$\left(\begin{array}1&0\\2&1\end{array} \right )\left(\begin{array} y_1\\y_2\end{array} \right ) = \left(\begin{array} 1\\6\end{array} \right )~;~~~  y_1 = 1,~~ y_2 = 4$$  

Ahora resolver el sistema: $DZ = Y$

$$\left(\begin{array}2&0\\0&4\end{array} \right )\left(\begin{array} z_1\\z_2\end{array} \right ) = \left(\begin{array} 1\\4\end{array} \right )~;~~~  z_1 = 1/2,~~ z_2 = 1$$

Ahora resolver el sistema: $UX = Z$

$$\left(\begin{array}1&-5/2\\0&1\end{array} \right )\left(\begin{array} x_1\\x_2\end{array} \right ) = \left(\begin{array} 1/2\\1\end{array} \right )~;~~~  x_1 = 3,~~ x_2 = 1$$


  Puntaje 5 c/u