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output: pdf_document
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```{r,echo=FALSE}
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO. Estadística e Informática\nMétodos Numéricos y Simulación")
```

##$$Parcial,~Octubre~2016$$


```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```


1.	La siguiente muestra corresponde a las medidas de la altura del Maíz. Cada registro tiene un error relativo de 0.05. Se debe calcular algunas estadísticas como la mediana medida central y el rango como medida de variación. Hallar sus valores si la muestra es: 1.65, 1.61, 1.65, 1.90, 1.50 y 1.48 metros:

Como todo error de una funcion, esta se determina con las relaciones:

$\epsilon_f = \sum |f'_{x_i}(x_1,x_2...)|*\epsilon_{x_i}$

Para el caso de la mediana

corresponde al valor central o promedio entre los centrales, luego de ordenar los datos.

Segun la medida de la muestra, el orden seria:

```{r}
x<-c(1.65, 1.61, 1.65, 1.90, 1.50, 1.48)
print(x)
print(sort(x))
```

los valores centrales son: 1.61 y 1.65, el promedio 1.63

El error correspondiente.

si el relativo es 0.05, el absoluto de cada valor que participa es: $0.05*1.61$, y $0.05*0.65$; resultado:

$\epsilon_1 = 0.0805$

$\epsilon_2 = 0.0325$

El error de la funcion de promedio:

$(1*0.0805+1*0.0325)/2 = 0.0565$

Por lo tanto la mediana sera: $1.63 \pm 0.0565$

Para el caso del rango, la funcion corresponde a la diferencia absoluta del maximo y minimo, siendo las medidas positivas, el rango seria solo el maximo - minimo.

Segun el orden, estos son:

maximo = 1.9, su error $0.05*1.9 = 0.095$

minimo = 1.48, su error $0.05*0.42 = 0.021$

rango = 0.42

Error de la funcion: $1*0.095+ 1*0.021 = 0.116$

Por lo tanto, el rango es: $0.42 \pm 0.116$

2.	Resolver la ecuación   $e^{-x}- 2*x^{0.5} = 0$  por aproximación sucesiva, verificar la convergencia, previamente localice la raíz cercana a cero.

La ecuacion:

```{r}
f<-function(x) exp(-x)-2*x^0.5
curve(f,-1,1)
abline(h=0,v=0,lty=2)
```

La solucion por aproximacion sucesiva:

$e^{-x}- 2*x^{0.5} = 0$

Primera posibilidad

$x=(0.5*e^{-x})^2$

$x_0=0.5$

**Prueba de la condicion de Lipschitz**

dada la la funcion $g(x)= (0.5*e^{-x})^2$

$|g(x_{i+1})-g(x_i)| \le |x_{i+1}-x_i|$

```{r}
x<-NULL
g<-function(x) (0.5*exp(-x))^2
x[1]<-1
for(i in 1:4){
  x[i+1]<-g(x[i])
  test<-abs(g(x[i+1])-g(x[i])) < abs(x[i+1]-x[i])
  print(test)
}
```

Cumple la condicion.

a)  Halle la raíz utilizando tres iteraciones

```{r}
x<-NULL
g<-function(x) (0.5*exp(-x))^2
x[1]<-0.5
for(i in 1:3){
  x[i+1]<-g(x[i])
  test<-abs(g(x[i+1])-g(x[i])) < abs(x[i+1]-x[i])
}
print(cbind(iter=0:3,x))
```

b)  Encuentre la raíz con 2 cifras decimales significativos.

Para 2 cifras decimales, la cota de error debe ser:

$\epsilon = 0.5*10^{-1-2+1} = 0.5*10^{-2}$

error de aproximacion

$\epsilon_i =  \left |\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\right |$


```{r}
f1<-function(x) -exp(-x) - 1/sqrt(x) 
Ei<-function(x)abs(f(x)/f1(x))
Error<- 0.005
x<-NULL; E<-NULL
g<-function(x) (0.5*exp(-x))^2
x[1]<-0.5
i<-1
E[i]<-Ei(x[i])
while (Ei(x[i])> Error) {
  x[i+1]<-g(x[i])
  i<-i+1
  E[i]<-Ei(x[i])
}
print(cbind(iter=0:(i-1),x,E))
```

Satisface el error < 0.005, la raiz es: 0.17975925 con 5 iteraciones.

c)  Encuentre la raíz con un margen de error menor al 5%.

Significa que el error relativo debe ser menor de 0.05

$\delta<0.05$

$\delta=\frac{\epsilon}{|x|}$


```{r}
Di<-function(x)Ei(x)/abs(x)
dError<- 0.05
x<-NULL; dE<-NULL
x[1]<-0.5
i<-1
dE[i]<-Di(x[i])
while (Di(x[i])> dError) {
  x[i+1]<-g(x[i])
  i<-i+1
  dE[i]<-Di(x[i])
}
print(cbind(iter=0:(i-1),x,dE))
```

Satisface el error $\delta < 0.05$, la raiz es: 0.17975925 con 4 iteraciones.

3.  Se tiene información de una variable dependiente "y" y tres variables independientes ($x_1$, $x_2$, y $x_3$). La matriz de correlación de $x_1$, $x_2$, y $x_3$,  constituyen los coeficientes de un sistema de ecuaciones, el lado derecho del sistema corresponde a la correlación de las Variables $x_1$, $x_2$, y $x_3$ con la variable dependiente **y**.

$$Y=\left(\begin{array}{c} 4\\3\\2\\0 \end{array} \right) ~~~ X= \left (\begin{array}{ccc}4 & -1 & 4\\8 & -2 & 2 \\4 & 5 & 0 \\1 & -1 & 1 \end{array} \right)$$

Halle la solución por los métodos de Jacobi y de Gauss. La solución corresponde a los efectos directos de cada variable sobre la dependiente. (Se conoce como análisis de secuencias en modelo de ecuaciones estructurales del análisis multivarial).


```{r}
y<-c(4,3,2,0)
x<-rbind(c(4,-1,4), c(8,-2,2), c(4,5,0), c(1,-1,1))
b<-cor(x,y)
A<-cor(x)
print(b)
print(A)
```

**Jacobi**

```{r}
z<-c(0,0,0) # solucion k
w<-NULL # solucion k+1
iter<-5
for(k in 1:iter){
  w[1]<-(b[1]-A[1,2]*z[2]-A[1,3]*z[3])/A[1,1]
  w[2]<-(b[2]-A[2,1]*z[1]-A[2,3]*z[3])/A[2,2]
  w[3]<-(b[3]-A[3,1]*z[1]-A[3,2]*z[2])/A[3,3]
cat(k,w,"\n")
z<-w
}
```

**Gauss-seidel**

```{r}
w<-c(0,0,0) # solucion k
iter<-5
for(k in 1:iter){
  w[1]<-(b[1]-A[1,2]*w[2]-A[1,3]*w[3])/A[1,1]
  w[2]<-(b[2]-A[2,1]*w[1]-A[2,3]*w[3])/A[2,2]
  w[3]<-(b[3]-A[3,1]*w[1]-A[3,2]*w[2])/A[3,3]
cat(k,w,"\n")
}
```