\documentclass[spanish]{article}
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\begin{document}
\SweaveOpts{concordance=TRUE}
\color{OliveGreen}
<<echo=FALSE>>=
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO.Estadística e Informática\nMétodos Numéricos y Simulación")
@

$$Parcial,~ Mayo ~del ~2016$$

\begin{enumerate}
\color{blue}
\item Dada la funci\'on: $\sqrt{5-x}+2x^2 +2x-10= 0$ \
\begin{enumerate}
\item Hallar una aplicaci\'on contra\'ida $g(x)$ en el intervalo (1,2) para hallar el punto fijo.
\color{black}
<<>>=
  x<-NULL
  g<-function(x)sqrt(5-x-sqrt(5-x)/2)
  x[1]<-1.5
  x[2]<-g(x[1])
  x[3]<-g(x[2])
  x[4]<-g(x[3])
  x[5]<-g(x[4])
  print(x)
  cat("\nPuntos que pertencen al intervalo I(1,2)")
@
\color{blue}
\item Probar que cumple la condici\'on de Lipschitz. \
\color{black}
<<>>=
  cat("\nCondicion de Lipschitz\n")
  abs(g(x[1])-g(x[2]) ) ; abs(x[1]-x[2])
  k <- abs(g(x[1])-g(x[2]) ) / abs(x[1]-x[2])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[2])-g(x[3]) ) ; abs(x[2]-x[3])
  k <- abs(g(x[2])-g(x[3]) ) / abs(x[2]-x[3])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[3])-g(x[4]) ) ; abs(x[3]-x[4])
  k <- abs(g(x[3])-g(x[4]) ) / abs(x[3]-x[4])
  print(k)
  cat("\nCumple la condicion de Lipschitz\n")
@
\color{blue}  
\item Hallar el punto fijo mediante el algoritmo $X_{i+1} = g(X_i)$ \
\color{black}
<<>>=
  cat("\nAplicando el algoritmo\n")
  for (i in 1:5){
    x[i+1]<-g(x[i])
  }
  cbind(x)
@
  
  \end{enumerate}
\color{blue}
\item Considere el siguiente sistema de ecuaciones: $exp(-x) + y - 2=0$ y la ecuacion $y-x^2 = 0$. Utilice el m\'etodo aproximacion sucesiva\

  \begin{enumerate}

  \item Localizar graficamente las raices.
\color{black}
<<fig=true,width=4,height=2>>=
  par(mar=c(2,2,2,2),cex=0.8)
  f<-function(x)2-exp(-x)
  g<-function(x)x^2
  curve(f,from=-1,to=2)
  curve(g,from=-1,to=2,add=TRUE,col="blue")
  abline(v=c(-1,-0.5),h=c(0,0.5),lty=2)
  abline(v=c(1,1.5),h=c(1.5,2),lty=2)
@  
  
  Las raices estan en las regiones:
  
  $R_1$ (-1,-0.5),(0,0.5)

  $R_2$ (1,1.5), (1.5,2)
\color{blue}
\item Buscar el algoritmo que satisfaga la condicion de convergencia.

Posibilidad: x=1, y=2 cerca a una raiz

$x=F(x,y)=sqrt{y}$

$y=G(x,y)=2-exp(-x)$

$F_x=0$

$F_y=\frac{1}{2*sqrt{y}}$

$G_x=\exp(-x)$

$G_y=0$\\

Las relaciones que deben satisfacer para la convergencia:

$|F_x|+|F_y| \le k$

$|G_x|+|G_y| \le k$

$|F_y| \le k$

$|G_x| \le k$\\

Para valores $0 <  k < 1$ para todos los valores en la vecindad $R$

\color{black}
<<>>=  
  F<-function(x)sqrt(y)
  G<-function(x)2-exp(-x)
  Fx<-0
  Fy<-function(y)0.5/sqrt(y)
  Gx<-function(x)exp(-x)
  Gy<-0
  x<-NULL; y<-NULL
  x[1]<- 1
  y[1]<- 2
  
  # primera iteracion
  x[2]<-sqrt(y[1])
  y[2]<-2-exp(-x[1])
  # segunda iteracion
  x[3]<-sqrt(y[2])
  y[3]<-2-exp(-x[2])
  # tercera iteracion
  x[4]<-sqrt(y[3])
  y[4]<-2-exp(-x[3])
  cat("\nEstan en la region de interes y satisfacen:\n")
  abs(Fy(y))
  abs(Gx(x))
  cat("\nSon valores entre 0 y 1:\n")
@

\color{blue}
\item Error relativo de cada aproximaci\'on.
\color{black}
<<>>=
  # Asumiendo 3 iteraciones
  Ex<-abs(x[4]- x[3])/abs(x[4])
  Ey<-abs(y[4]- y[3])/abs(y[4])
  cat("\nError absoluto para x, y es:",Ex,",",Ey)
@

\end{enumerate}   
\color{blue}
\item Indicar las condiciones para que un sistema de ecuaciones lineales tenga o no soluci\'on en todos los casos. Poner ejemplos de 2 ecuaciones con 2 inc\'ognitas para ilustrar cada caso.

Para que un sistema $Ax=b$ tenga soluci\'on, el rango de la matriz aumentada |Ab| debe ser igual al rango de A.

$\rho {(A~b)}=\rho(A)$

si es diferente no tiene solucion.

Ejemplos:

\begin{enumerate}

\item $\rho {(A~b)}=\rho(A)=3$ 
 
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&4&2\\2&1&3 \\4&1&2 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c} 14\\14\\15 \end{array} \right)$$
\color{black}
<<>>=
A<-rbind(c(2,4,2),c(2,1,3),c(4,1,2))
b<-c(14,14,15)
solve(A,b)
@
\color{blue}
\item $\rho {(A~b)} =3 \neq \rho(A)=2$ 

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&4&2\\2&1&3 \\4&5&5 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c} 14\\14\\15 \end{array} \right)$$
\color{black}
<<>>=
A<-rbind(c(2,4,2),c(2,1,3),c(4,5,5))
b<-c(14,14,15)
#solve(A,b)
@

> solve(A,b)

\textcolor{red}{Error in solve.default(A, b) : \\
  Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[3,3] = 0}
 
\end{enumerate}
\color{blue}
\item  Descomponer algebraicamente la matriz A en LU, dado por:

$$A=\left( \begin{array}{ccc} a&b&0\\c&d&0\\0&0&1 \end{array} \right)~~~~
L=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\x&1&0\\y&z&1 \end{array} \right)~~~~
U=\left( \begin{array}{ccc} a&b&0\\0&u&v\\0&0&w \end{array} \right)$$

$ax=c$, entonces $x=\frac{c}{a}$

$bx+u=d$, entonces $u=d-\frac{bc}{a}$

$v=0$, $y=0$, $z=0$, entonces $w=1$

Por lo tanto.

$$L=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\c/a&1&0\\0&0&1 \end{array} \right)~~~~
U=\left( \begin{array}{ccc} a&b&0\\0&d-bc/a&v\\0&0&1 \end{array} \right)$$
\color{black}

\color{blue}
\item  Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones Ax=b, dado por:

$$A=\left( \begin{array}{cc} 1&4\\2&0 \\4&1\\3&1 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c} 4\\2\\1\\4 \end{array} \right)$$
\color{black}
<<>>=
A<-rbind(c(1,4),c(2,0),c(4,1),c(3,1))
b<-c(4,2,1,4)
print(data.frame(A,b),row.names=FALSE)
# La transpuesta de A
tA<-t(A)
# construyendo la relacion optima
# tA%*%A = tA%*%b 
AA<-tA%*%A
Ab<-tA%*%b
print(data.frame(AA,Ab),row.names=FALSE)
#Resolviendo el sistema
solve(AA,Ab)
@
\color{black}
\end{enumerate}
Puntaje 6,8,2,2,2

\end{document}