\documentclass{article}
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\parindent 0em

\begin{document}

<<echo=FALSE>>=
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO.Estadistica e Informatica\nMetodos Numericos y Simulacion")
@
$$Parcial,~ Mayo ~del ~2015$$

\begin{enumerate}

\item Dada la siguiente funci\'on $f(X)=\sqrt{X+5}-2*X^2 +2*X+10$

\begin{enumerate}
\item Hallar el valor de esta funci\'on para $x=4 \pm 0.68x10^{-4}$.

<<echo=FALSE>>=
options(digits=16)
f<-expression(sqrt(x+5)-2*x^2 +2*x+10)
f1<-D(f,"x")
x<-4
Ex<-0.68e-4
fx<-eval(f)
Ef<-abs(eval(f1))*Ex
print(c(fx,Ef))
options(digits=4)
@

\item Si el valor de la funci\'on se expresa con 6 cifras decimales, indique a cuantas cifras esta redondeado?.

El valor de f(4) resulta -11 y el error es de 0.94e-3  por lo tanto el error $0.94x10^{-3} \le 10^{1-n+1}

implica que $-3 = 2-n$, por lo tanto el numero esta redondeado a $n=5$ cifras. 

\end{enumerate}

\item {Dada la funci\'on: $f(x)=e^{-|x|} - x^2 + 2$}

\begin{enumerate}
\item {Localice las raices}

<<fig=TRUE,height=2,width=4>>=
par(mar=c(2,2,1,1),cex=0.6)
f1<-function(x)exp(1)^(-abs(x))
f2<-function(x) 2-x^2 
x<-seq(-4,4,length=20)
plot(x,f1(x),type="l",ylim=c(0,2))
lines(x,f2(x))
@

Los intervalo son $]-2,0 [$ y $] 0, 2[$

\item Encuentre una aplicacion $g(x_i)$ tal que $x_{i+1}=g(x_i)$ sea un algoritmo que permita hallar la raiz negativa de $f(x)=0$

$g(x) = x - \phi(x)*f(x)$

si $\phi(x)=\lambda=1/10$ por ejemplo

entonces para x negativo:

<<>>=
f<-function(x)exp(1)^(-abs(x)) -x^2 + 2
g<-function(x)x-f(x)/10
x[1]<--1
for(k in 1:10){
x[k+1]<-g(x[k])
cat(k,abs(g(x[k])-g(x[k+1])) <= abs(x[k]-x[k+1]),x[k],"\n")
}
@

\end{enumerate}

\item Halle el grado de convergencia del algoritmo $x_{i+1}=x_i - \frac{f(x_i)}{f^'(x_i)}$, si la funci\'on $f(x)=x^2+2.25-3*x$

la funcion $f(x)=x^2+2.25-3*x=(x-1.5)^2$, entonces:

$g(x)=x-(x-3/2)^2/(2x-3))$

$g(x)=x-(2x-3)^2/(4(2x-3))$

$g(x)=x-(2x-3)/4=(2x+3)/4=x/2 + 3/4$

$g'(x)=1/2$

Entonces

$g(x_i)= g(x^*)+(x_i-x^*)g'(x^*)$

$|x_{i+1} - x^*| = |x_i-x^*|/2$

$\frac{E_{i+1}}{E_i}=1/2$

En el limite la fraccion es constante e igual a 1/2.

Por lo tanto tiene convergencia lineal.

\item {Resolver el siguiente sistema Ax=b por descomposici\'on en dos matrices triangulares}

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&6&6\\6&8&4\\6&4&10 \end{array} \right)~~~~x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c}16\\8\\8 \end{array} \right)$$

<<echo=FALSE>>=
LU<-function(A) {
n<-nrow(A)
l<-rep(0,n^2)
dim(l)<-c(n,n)
u<-l
for(k in 1:n) {
for(j in k:n) {
u[k,j]<-A[k,j]
if(k > 1) {
for (p in 1:(k-1)) {
u[k,j]<-u[k,j]-l[k,p]*u[p,j]
}
}
}
for (i in k:n) {
l[i,k]<-A[i,k]
if (k > 1) {
for (p in 1:(k-1)) {
l[i,k]<-l[i,k]-l[i,p]*u[p,k]
}
}
l[i,k]<-l[i,k]/u[k,k]
}
}
return(list(L=l,U=u))
}
@

<<>>=
A<-rbind(c(2,6,6),c(6,8,4),c(6,4,10))
b<-c(16,8,8)
B<-LU(A)
L<-B$L
U<-B$U
print(L)
print(U)
# Primer sistema Ly=b
y<-solve(L,b)
print(y)
# Segundo sistema Ux=y
x<-solve(U,y)
print(x)
@

\item Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones $Ax=b$ por el m\'etodo de jacobi, si:

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&4&3\\5&0&2\\5&1&8 \end{array} \right)~~~~x=\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c} 4\\2\\1 \end{array} \right)$$

Ordenando el sistema $Ax=b$

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 5&0&2\\1&4&3\\5&1&8 \end{array} \right)~~~~x=\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}{c} 2\\4\\1 \end{array} \right)$$

El algoritmo por Jacobi:

Valores iniciales $x1_1=x2_1=x3_1=0$

$x1_{k+1}=(2-2x3_{k})/5$

$x2_{k+1}=(4-x1_{k}-3x3_{k})/4$

$x3_{k+1}=(1-5x1_{k}-x2_{k})/8$

<<>>=
x1<-NULL;x2<-NULL;x3<-NULL
x1[1]=0; x2[1]=0; x3[1]=0
for(k in 1:10){
x1[k+1]<-(2-2*x3[k])/5
x2[k+1]<-(4-x1[k]-3*x3[k])/4
x3[k+1]<-(1-5*x1[k]-x2[k])/8
}
print(round(data.frame(x1,x2,x3),4),row.names=FALSE)
@

\end{enumerate}

Puntaje 4 c/u
\end{document}