---
output: word_document
---

```{r,echo=FALSE}
cat("UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA\nDPTO. Estadística e Informática\nMétodos Numéricos y Simulación")
```

##$$Parcial,~Octubre~del~2014$$

1.  Dada la ecuacion: $sqrt(x+5)-2*x^2 +2*x+10= 0$
   
    a. Hallar una aplicación contraída $g(x)$ diferente del algortitmo de Newton en el intervalo I(-2,0).
    
    Aplicando $phi(x)=1/20$ en $g(x)= x-\phi(x)f(x)$
    
    $g(x) = x - f(x)/20$
  
```{r}
  x<-NULL
  f<-function(x)sqrt(x+5)-2*x^2 +2*x+10
  g<-function(x)x-f(x)/20
  x[1]<- -1.5
  x[2]<-g(x[1])
  x[3]<-g(x[2])
  x[4]<-g(x[3])
  x[5]<-g(x[4])
  print(x)
  cat("\nPuntos que pertencen al intervalo I(-2,0)")
```

    b. Probar que cumple la condición de Lipschitz.
```{r}
  cat("\nCondicion de Lipschitz\n")
  abs(g(x[1])-g(x[2]) ) ; abs(x[1]-x[2])
  k <- abs(g(x[1])-g(x[2]) ) / abs(x[1]-x[2])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[2])-g(x[3]) ) ; abs(x[2]-x[3])
  k <- abs(g(x[2])-g(x[3]) ) / abs(x[2]-x[3])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[3])-g(x[4]) ) ; abs(x[3]-x[4])
  k <- abs(g(x[3])-g(x[4]) ) / abs(x[3]-x[4])
  print(k)
  cat("\nCumple la condicion de Lipschitz\n")
```
  
    c. Hallar el punto fijo mediante el algoritmo $X_{i+1} = g(X_i)$ \
```{r}
  cat("\nAplicando el algoritmo\n")
  for (i in 1:5){
    x[i+1]<-g(x[i])
  }
  cbind(x)
```
  
2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: $exp(-x) + y - 2=0$ y la ecuacion $y-x^2 = 0$. Utilice el método Newton.

    a. Localizar graficamente las raices.
    b. Expresar algebraicamente el Jacobiano.
    c. Aproximacion la solucion en dos iteraciones, considere el vector inicial x=1, y=2
    d. Si la solucion es: $x^*=1.315974$;   $y^*=1.731787$, indicar el numero de cifras significativas que tiene cada aproximación encontrada.

a. Despejar $y=2-e^(-x)$ y de la segunda ecuacion $x=sqrt{y}$

Ahora graficar $plot(x,y=2-e^{-x})$ y superponer la segunda plot(y,x=sqrt{y})

```{r}
f<-function(x)2-exp(-x)
g<-function(y)sqrt(y)
x<-seq(0,2,length=10)
y<-x
plot(x,f(x),type="l",xlim=c(0,2),ylim=c(0,2),axes=FALSE,col=2,ylab="")
par(new=TRUE)
plot(g(y),y,type="l",xlim=c(0,2),ylim=c(0,2),axes=FALSE,col=4,xlab="")
axis(1);axis(2)
abline(h=1.731787,v=1.315974,lty=4)
```

b. Es la matriz de derivadas parciales de las dos ecuaciones:

$$J=\left(\begin{array} -e^{-x} & 1\\-2*x&1 \end{array} \right)$$

c.
```{r}
f<-function(x,y)exp(-x) + y - 2
g<-function(x,y)y-x^2
fx<-function(x,y)-exp(-x)
fy<-function(x,y) 1
gx<-function(x,y)-2*x
gy<-function(x,y) 1

X<-c(1,2)
for(i in 1:2){
x<-X[1];y<-X[2]
J<-rbind(c(fx(x,y),fy(x,y)),c(gx(x,y),gy(x,y)))
F<-c(f(x,y),g(x,y))
X<-c(x,y)
X<-X-solve(J)%*%F
}
print(J)
print(X)
```

d. si $x^*=1.315974$;   $y^*=1.731787$; entonces los errores seran:

La solucion a la segunda iteracion es:

x=1.318246; y=1.733005

Los errores son:

$\epsilon_x = | 1.318246 - 1.315974| = 0.22e-2$

$\epsilon_y = | 1.733005 - 1.731787| = 0.12e-2$

Ambas raices tiene valor de m=0, por lo tanto m-n+1= -n+1= -2, se concluye n=3. Ambas raices en la segunda iteracion tienen 3 cifras significativas.

3. Indicar las condiciones para que un sistema de ecuaciones lineales tenga o no solucion en todos los casos. Poner ejemplos de 2 ecuaciones con 2 incognicas para ilustrar cada caso.

Solución. Las condiciones corresponde a las relaciones de rangos de las matrices del sistema:

    - Si el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada A|b, entonces el sistema tiene solucion, caso contrario no hay solucion.
    - Si cumple la proposicion anterior y ademas el rango es igual al orden del sistema, etonces hay una unica solucion.
    
4. Descomponer algebraicamente la matriz A en LU, dado por:

$$A=\left(\begin{array} a&b\\c&d \end{array} \right )$$

$$L=\left(\begin{array} 1&0\\c/a&1 \end{array} \right )~~~~U=\left(\begin{array} a&b\\0&d-bc/a \end{array} \right )$$

5. Resolver le siguiente sistemas de ecuaciones Ax=b, dado por:

$$A=\left( \begin{array} 1&4\\2&0\\5&1 \\4&1\\3&1\\1&5 \end{array} \right)~~~~b=\left(\begin{array}4\\2\\1 \\4\\1\\1 \end{array} \right)$$

$$A^'Ax=\left( \begin{array}56&21\\21&44 \end{array}\right)~~~~ A^'b = \left( \begin{array}33\\27 \end {array}\right)$$

La solucion por porcesos iterativos (converge) o proceso de transformacion elementales o descomposion en LU

La solucion por operaciones elementales es:

$$\left( \begin{array}56&21&33\\21&44&27\end {array}\right)$$

Haciendo cero $a_{21}$ se tiene:

$f_2 = 21*f_1 - 56*f_2$

$$\left( \begin{array}56&21&33\\0&-2023&-819\end {array}\right)$$

$x_2= 819/2023 =0.4048443$

$x_1=(33-21*0.4048443)/56=0.4374691$

```{r}
A<-cbind(c(1,2,5,4,3,1),c(4,0,1,1,1,5))
b<-c(4,2,1,4,1,1)
AtA<-t(A)%*%A
Atb <-t(A)%*%b
print(AtA)
print(Atb)
solve(AtA,Atb)
```

Puntaje 5,5,3,3,4