\documentclass[english]{article}
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\begin{document}

\bf .\\UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA \\DPTO. Estad\'istica e Inform\'atica.\\M\'etodos Num\'ericos y Simulaci\'on.\\Parcial, Mayo del 2014

\begin{enumerate}
\item Dada la funci\'on: $exp(-x^2)-  x^2 -2x +10= 0$ \
  \begin{enumerate}
  \item Hallar una aplicaci\'on contra\'ida $g(x)$ en el intervalo (2,3) para hallar el punto fijo.
  <<>>=
  x<-NULL
  g<-function(x)sqrt(exp(-x^2)-2*x+10)
  x[1]<-2.5
  x[2]<-g(x[1])
  x[3]<-g(x[2])
  x[4]<-g(x[3])
  x[5]<-g(x[4])
  print(x)
  cat("\nPuntos que pertencen al intervalo I(2,3)")
  @
  \item Probar que cumple la condici\'on de Lipschitz. \
  <<>>=
  cat("\nCondicion de Lipschitz\n")
  abs(g(x[1])-g(x[2]) ) ; abs(x[1]-x[2])
  k <- abs(g(x[1])-g(x[2]) ) / abs(x[1]-x[2])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[2])-g(x[3]) ) ; abs(x[2]-x[3])
  k <- abs(g(x[2])-g(x[3]) ) / abs(x[2]-x[3])
  print(k)
  cat("\nnuevos puntos\n")
  abs(g(x[3])-g(x[4]) ) ; abs(x[3]-x[4])
  k <- abs(g(x[3])-g(x[4]) ) / abs(x[3]-x[4])
  print(k)
  cat("\nCumple la condicion de Lipschitz\n")
  @
  
  \item Hallar el punto fijo mediante el algoritmo $X_{i+1} = g(X_i)$ \
  <<>>=
  cat("\nAplicando el algoritmo\n")
  for (i in 1:5){
    x[i+1]<-g(x[i])
  }
  cbind(x)
  @
  
  \end{enumerate}

\item la ecuacion no lineal $exp(-x) + x - 2$ tiene como soluci\'on el valor: -1.146193208.\
Si se aplica el m\'etodo de secante con tres iteraciones dando como valores iniciales: $-1.2$ y $-1.1$, hallar:\
  \begin{enumerate}
  \item El error absoluto y el número de cifras significativas exactas de la aproximaci\'on.
  <<>>=
  f<-function(x)exp(-x) + x - 2
  x[1]<- -1.2
  x[2]<- -1.1
  # primera iteracion
  x[3]<-(x[1]*f(x[2])-x[2]*f(x[1]))/(f(x[2])-f(x[1]))
  # segunda iteracion
  x[4]<-(x[2]*f(x[3])-x[3]*f(x[2]))/(f(x[3])-f(x[2]))
  # tercera iteracion
  x[5]<-(x[3]*f(x[4])-x[4]*f(x[3]))/(f(x[4])-f(x[3]))
  cat("\nAproximacion de la raiz:",x[5])
  @
  \item Que porcentaje de error tiene la aproximación.
  <<>>=
  # Aproximacion de un nuevo valor para el calculo del error
  Ex<-abs(x[5]- -1.146193208)
  cat("\nError absoluto:",Ex)
  @
    
  \item Si este valor es utilizado en la funci\'on $exp(-x^2)$, cual es la magnitud de error que se estaría cometiendo.
  <<>>=
  f <-expression(exp(-X^2))
  fx<-D(f,"X")
  print(fx)
  X<-x[5]
  Ef<-abs(eval(fx))*Ex
  cat("\nError de la funcion:",Ef)
  @
  \end{enumerate}

\item  En el sistema de ecuaciones no lineales $f(x,y)= x - sen(y)$ ; $g(x,y) = y- cos(x)$,  la soluci\'on en la una iteraci\'on fue: $x= 0.694$, $y=0.768$. Si se utilizo el método de Newton, Cuales ser\'ian los siguientes valores de $x$ e $y$ como aproximaci\'n a la soluci\'on del sistema.

<<>>=
f<-expression( x - sin(y) )
g<-expression( y - cos(x) )
x<-0.694
y<-0.768
fx<-D(f,"x")
fy<-D(f,"y")
gx<-D(g,"x")
gy<-D(g,"y")
fx;fy;gx;gy
# Jacobiano
J<-cbind(c(eval(fx),eval(fy)),c(eval(gx),eval(gy)))
F0<-c(eval(f),eval(g))
print(J)
print(F0)
X<-c(x,y)
# Segun newton-raphson
X<-X-solve(J)%*%F0
print(X)  
@

\item  Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\[2x  +  4y + 6z =  0\]
\[ x   +  y + 2z =  2\]
\[3x  +  4y + 2z = -6\]
Aplicar operaciones elementales para convertir en un sistema diagonal y halla la soluci\'on.

<<>>=
A<-rbind(c(2,4,6,0),c(1,1,2,2),c(3,4,2,-6))
# matriz original
print(A)
# Diagonalizando
# Paso 1
A[2,]<-2*A[2,]-A[1,]
A[3,]<-2*A[3,]-3*A[1,]
print(A)
# Paso 2
A[1,]<-A[1,]+2*A[2,]
A[3,]<-A[3,]-2*A[2,]
print(A)
# Paso 3
A[1,]<-5*A[1,]+A[3,]
A[2,]<-5*A[2,]-A[3,]
print(A)
#Resultado final
x<-A[1,4]/A[1,1]
y<-A[2,4]/A[2,2]
z<-A[3,4]/A[3,3]
print(c(x,y,z))
@

\end{enumerate}
Puntaje 5 c/u

\end{document}