\documentclass[12pt,spanish]{article}
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\textwidth 6.75in
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\thispagestyle{empty}
\SweaveOpts{echo=FALSE}
\begin{document}
\begin{center}
{\normalsize\bf Solucionario del parcial de m\'etodos num\'ericos\\20 de Mayo del 2010\\}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Teoria de errores:
\begin{enumerate}
\item El valor exacto ...
<<echo=false>>=
A<- 5.4967
m1<-5.5102
m2<-5.4801
m3<-5.4905
e1<-abs(m1-A)
e2<-abs(m2-A)
e3<-abs(m3-A)
error<-mean(c(e1,e2,e3))
cat("Valor Exacto: ",A)
cat("Muestra: ",m1,", ",m2,", ",m3)
cat("error del promedio: ", error)
media<-mean(c(m1,m2,m3))
margen <- error*100/abs(A)
cat("Margen de error del promedio: ", margen)
@
\item Dos medidas ...

$a_1$ con 2 cifras significativas exactas, entonces $\epsilon_1=0.5*10^{m-2+1}$
$a_2$ con 3 cifras significativas exactas, con un error absoluto de $\epsilon_2=0.5*10^{m-3+1}$. El marge de error de la diferencia $y=a_1-a_2$ es:
\begin{math}
\delta_y=\frac{0.5*10^m}{|a_1-a_2|}*(\frac{1}{10}+\frac{1}{100})
\end{math}
\item Escriba la serie de taylor ...\\
\begin{math}
f(x)=f(x_0)+\frac{(x-x_0)}{1}f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0)\\
f(x)=log_{10}(x)\\
f(x)=\frac{log(x)}{log(10)}
\end{math}

<<echo=false>>=
f<-expression(log(x))
f1<-D(f,"x")
f2<-D(f1,"x")
cat("función logaritmo neperiano log(10)")
cat("Primera derivada:\t")
f1
cat("Segunda derivada:\t")
f2
x<-5
@
Para un valor $x_0 = 5$\\
El valor del log(10) en base 10 será:\\
\begin{math}
s_1=f(5)+\frac{(10-5)}{1}\frac{1}{5}\\
s_2=f(5)+\frac{(10-5)}{1}\frac{1}{5}+\frac{(10-5)^2}{2}\frac{(-1)}{25}\\
\end{math}

<<echo=false>>=
y<-10
s1<-(eval(f)+eval(f1)*(y-x)/factorial(1))/log(10)
s2<-(eval(f)+eval(f1)*(y-x)/factorial(1)+eval(f2)*(y-x)^2/factorial(2))/log(10)
cat("Con un termino de la serie: ",s1)
cat("Con dos termino de la serie: ",s2)
cat("Los errores absolutos:\n")
cat("Con un termino de la serie: ",abs(s1-1))
cat("Con dos termino de la serie: ",abs(s2-1))
@
\end{enumerate}
\item Hallar el grado de convergencia ...\\
\begin{math}
x^2-6x+9=0
\end{math}
Newton: $x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^2-6x_i+9}{2x_i-6} $\\
Resultanto: $x_{i+1} = \frac{x_i-3}{2}$\\\

Entonces: $g(x) = \frac{x_i-3}{2} $\\
La derivada de g(x) resulta: $g'(x)=\frac{1}{2}$\\
La segunda derivada de g(x) es cero. Utilizando el desarrollo de taylor en la funcion g(x) y aplicando condicion de punto fijo, resulta:\\
\[ \lim_{i\to +\infty}\frac{\epsilon_{i+1}}{\epsilon_{i}^1}=\frac{1}{2} \]
Por lo tanto tiene convergencia lineal.
\item Hallar la solucion...
\begin{eqnarray}
2x-y+z=5\nonumber\\
-x+4y-z=0\nonumber\\
x-y+2z=5\nonumber
\end{eqnarray}
Primera operacion con la fila 1: $f_2 = 2f_2+ f_1$ y $f_3 = f_1 - 2f_3$
\begin{eqnarray}
2x-y+z=5\nonumber\\
7y-z=5\nonumber\\
y-3z=-5\nonumber
\end{eqnarray}
Segunda operacion con la fila 2:  $f_3 = f_2 - 7f_3$
\begin{eqnarray}
2x-y+z=5\nonumber\\
7y-z=5\nonumber\\
20z=40\nonumber
\end{eqnarray}
Resulta $z=2$, de la segunda $y=1$ y en la primera $x=2$\\
\item Buscar un algortimo...
$\sqrt{x-1}-(1/x)^2=0$ para $x>1$ \\
Descomponiendo $f_1(x)=\sqrt{x-1}$; $f_2(x)= (1/x)^2$

<<echo=false, fig=true>>=
f1<-function(x)sqrt(x-1)
f2<-function(x)1/x^2
x<-seq(1,6,0.1)
plot(x,f1(x),type="l",lty=8,ylab="f1 = f2",lwd=2)
lines(x,f2(x),lty=14,lwd=1.5)
text(4,0.25,"f2")
text(4,1.9,"f1")
@

Raiz entre 1 y 2. Valor inicial $x_0=1.5$
$g(x) = \frac{1}{x^4}+1 $\\
Evaluando con el algoritmo: $x_{i+1} = \frac{1}{x_i^4}+1 $\\
$x_1=1.1975$\\
$|1.1975-1.5| = 0.3024$\\
$|g(1.1975) -g(1.5)| = 0.2887$\\
Satisface la condicion $|g(x_{i+1})-x_i| < k|x_{i+1}-x_i|$ para 0<k<1;\\
y el valor pertenece al intervalo ]1,2[, por lo tanto si converge. El nuevo valor de x es: $x_2 = 1.4862$\\
La Solucion es x=1.324, la convergencia es muy lenta.\\
Recomendaci\'on: Usar el algor\'itmo de newton.
         \end{enumerate}
\end{document}